幂级数的有关概念 　　定义6具有下列形式的函数项级数（1）称为幂级数.幂级数 　　特别地,在中令即上述形式化为（2）称为的幂级数.取为常数项级数,如收敛,其和为取为常数项级数,如收敛,其和为取为和函数项级数,总收敛,其和为对幂级数主要讨论两个问题：（1）幂级数的收敛域（2）将函数表示成幂级数.幂级数的收敛域具有特别的结构定理1：（i）如在收敛,则对于满足的一切,都绝对收敛；（ii）如在发散,则对于满足的一切,发散.证：（1）∵收敛∴（收敛数列必有界）而为几何级数,当即收∴收∴原级数绝对收敛（2）反证：如存在一点使收则由（1）收,矛盾.由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使收敛；发散,称R为收敛半径,（-R,R）为收敛区间. 　　幂级数的性质 　　定理求幂级数的和函数：利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式

　　幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。幂函数最重要的应用就是级数。不严谨的说，就是把一个函数展开成无穷项等比数列求和的形式，只不过每项都是关于x的幂函数，利用这个幂级数，可以把任意一个函数表示成多项式，方便近似计算。另外，刚才提到的傅里叶分解也就是把一个周期函数（信号）展开成傅里叶级数。如果函数是非周期的（即周期无限大）这个过程就叫做傅里叶变换。