数学达人进：广义积分问题当x是奇函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx一定等于0吗?当x是偶函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx一定等于2∫（0到正无穷）f(x)dx吗?说明理由~
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更新时间：2024-04-25 20:57:51
问题描述：
数学达人进：广义积分问题
当x是奇函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx一定等于0吗?
当x是偶函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx一定等于2∫（0到正无穷）f(x)dx吗?
说明理由~
董伯麟回答：
这种问题需要举例子吗？如果∫（0-->+∞）f(x)dx发散，那等式两边都是不存在的，你总不能说无穷大与无穷大相等吧？这还需要举例子吗？这是广义积分的定义要求的。∫[-∞-->+∞]xdx该积分发散，因此结果不存在，不能说因为是奇函数，所以结果为0。
董伯麟回答：
这个题不能这样做，应该这样做∫[-∞-->+∞]xdx=∫[-∞-->0]xdx+∫[0-->+∞]xdx=lim∫[-b-->0]xdx+lim∫[0-->+b]xdx两个极限都不存在，因此原积分发散请看书上关于∫[-∞-->+∞]类积分的定义
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