（2002•南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．（1）求证：∠ADE=∠B；（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．
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更新时间：2024-04-26 05:40:30
问题描述：
（2002•南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．
（1）求证：∠ADE=∠B；
（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．
洪家平回答：
（1）方法一：
证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
∴∠ADE=∠B．
方法二：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADB=∠DEA，
∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．
∴△DAE∽△BAD．
∴∠ADE=∠B．
（2）证明：∵OF∥AD，
∴∠F=∠ADE．
又∵∠DEA=∠FDO（已证），
∴△FDO∽△DEA．
∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE．
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