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设A和B为抛物线y平方=4x上除原点以外的两个动点,已知点M在AB上,且OA垂直OB,OM垂直AB,求M的轨迹方程
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更新时间:2024-03-29 20:12:56
问题描述:

设A和B为抛物线y平方=4x上除原点以外的两个动点,已知点M在AB上,且OA垂直OB,OM垂直AB,求M的轨迹方程

初奇伟回答:
  设A(m^2,2m),B(n^2,2n).m,n≠0   因为OA⊥OB,所以m^2*n^2+2m*2n=0,所以mn=-4   直线AB斜率K=(2m-2n)/(m^2-n^2)=2/(m+n)   设直线AB方程为y=Kx+b,过A(m^2,2m)   所以直线AB方程为A(m^2,2m),所以y=[2/(m+n)]x+[2mn/(m+n)]   即y=[2/(m+n)]x+[-8/(m+n)],恒过(4,0),K≠0   则直线AB方程为y=K(x-4)...1式   因为OM⊥AB,所以直线OM斜率为-1/K,所以直线OM方程为y=(-1/K)x...2式   联立1,2式得x=4K^2/(K^2+1),y=-4/(K^2+1),x/y=-K≠0,所以x≠0   M点坐标(4K^2/(K^2+1),-4/(K^2+1))   所以x=4(x/y)^2/[(x/y)^2+1].化简得x^2+y^2-4x=0(x≠0)即为M点轨迹
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